在数学中有些东西，似乎只是“人的作品”，用“发明”要恰当些。比如：在证明某些结果的过程中，数学家发现必须引进某种巧妙的而同时并非唯一的构想，以得到某种特别的结果。然而在另一些情况下，用术语“发现”的确比“发明”更贴切得多。如复数。当它引入后，人们从它的结构中得到的东西比预先放进的东西多得多。人们可以认为，在这种情形下数学家和“上帝的杰作”邂逅。也就是说，复数与复数的性质都是客观的，既非任何人的发明，也不是任何一群数学家的有意设计。它不是人类思维的发明：它是一个发现！数学家们只是重新“发现”了它们！数学家实际上是发现现成的真理，这些真理的存在完全独立于数学家的活动之外。数学对象是一种独立的、不依赖于人类思维的客观存在。 

    我们可以引述两位伟大数学家的意见。阿基米德认为，数学关系的客观存在与人类能否解释它们无关。牛顿说：“我不知道世人对我怎样看法，我只觉得自己好像是在海滨游戏的孩子，有时为找到一块光滑的石子或比较美丽的贝壳而高兴，而真理的海洋仍然在我的前面未被发现。可见，再伟大的数学家也仅不过是能够瞥见永恒真理一部分的幸运者。当然，数学与客观实在的联系并不总是如此紧密有力。如四元数以及各种超复数的引入就是反对这种联系者提出的例证。四元数的引入有着物理背景，但对其他的超复数就连这种背景也失去了。它们似乎已是数学家的自由创造物。这类现象在数学中事实上是不少见的。数学概念的第一次抽象往往与外界世界有着紧密联系。但这些概念一旦引入数学中，就往往会进一步抽象化。当这种抽象化达到一定程度时，它与外界就似乎失去了关联。

    只驰骋于数学内部的逻辑，而不关心数学与外部的联系，却做出重要数学贡献的数学家不在少数。伴随着数学抽象程度越来越高，尤其是数学公理化思想的盛行，一段时间内否定数学与外界的联系的观点在数学家中变得相当普遍。 

    但诚如庞加莱在1897年苏黎世第一届国际数学家代表大会的报告中所指出的：“……如果允许我继续拿这些优美艺术作比，那么把外部世界置诸脑后的数学家，就好比是懂得如何把色彩与形态和谐地结合起来但却没有模特儿的画家，他们的创造力很快就会枯竭。”数学发展的历史证明了他是很有见地的。在他作出这个形象的比喻后80年，在丹麦召开了专门讨论数学同现实世界关系的国际性学术讨论会，更多的数学家相信数学同现实世界是密切相关的，数学反映了现实世界并在现实的应用中得到发展。

    数学最初是被发现,后来的就是被发明的了.到如今的数学也可以说是有的被发现的,有的是被发明的.有的是被发明后重新确定是被发现的.但是还没有被发现的最后被确定是发明的.有点拗口.解释如下: 

    2+2=4 而不是5 这样的问题是最基本的对现实事件的抽象.对象可以是几只羊,也可以是几个木棍.反正是加上单位就是具体的.人民是通过经验来判断的.并且命名一下.分开相等的,其中之一就叫2个,合起来就叫4个.这是一个发现并且抽象的过程.而且我相信这样的过程发生过了无数次了,最后在人与人的共同过程中就需要找一个符号来标明.这就是2+2=4的来源.这显然是个发现这个特殊逻辑规律过程.数学和逻辑都是建立在这样的基础之上.而且严格的说数学只能算是逻辑的一部分.所以发现逻辑的基础,也就是发现了数学的基础. 

    后来的数学发展就有些特殊了.比如一些数论问题.关于有理数多还是无理数多,我相信以后会有个定论,但是这种问题是在已有的知识的基础上的,所以绝对是再发现.哥德巴赫猜想这样的关于数论的数学也是一样,已经建立好的逻辑基础,然后还有一些未解的难题.都可以算作发现.而这些未解之谜的逻辑基础都是那个2只羊加2只羊等于4只羊.所以这些基础是可靠的. 

    可是现代数学的一些门类建立后就不是建立在完全的对现实世界的观察的基础上的.比如非欧几何学就是这样.完全是假定一些最基本假设然后推理而来.群论也是如此,完全是根据几个基本假设,然后推理而来.假设少一条或者更改一条.理论体系就会完全面目全非.而最初的数学家也没有一个现实的模型来抽象.完全是用逻辑的方法来导出---这就是发明了.可是这些发明最后也有变成发现的部分,比如里曼几何被老爱用来做广义相对论的数学基础了.李代数-李群现在广泛的用在物理的不少领域里面.不过这些都是数学家一开始么想到的.也就是说他们发明了很多东西,最后被别人重新发现里面有些是对应自然界的物理规律的.

    数学作为知识，为什么独独不需要实际的检验？如此，数学岂不就是数学家心灵的自由创造物了吗？可与此矛盾的是，已有的无数事实证明了数学对科学技术的重大推动，对自然规律的深刻揭示。这里的原因何在呢？其实无论数学的结构如何令人头晕目眩，都是建立在逻辑的基础上。而逻辑是人类数千年历史中已无数次验证过的对客观世界进行思考的正确方法和理论，反映了客观世界最基本的关系、最本质的内在结构。数学建立在这一客观现实意义非常明显的规则基础上，由此进行演绎，其过程无论多么抽象深奥，其结果与现实需要的距离无论多么遥远，但由于实际上这一切都是包含在最初的规则之中的，因而也仍然是某种客观存在(尽管可能是某种非常抽象的存在)的形式反映。数学所反映的并不一定是什么具体的物理性质，化学性质，但她反映出的是结构、关系、变化。这样，数学实际上也就在本质上具有了客观性。

    我们再仔细分析一下。数学要告诉我们的是"若如何，则如何"，也就是if……then……向我们保证在前提符合要求的情况下，一定会有怎样的结果发生。这种保证的客观正确性由逻辑的客观正确性保证。但请注意，这里并没有保证前提的存在性，也正因为如此，数学才有了可以不联系实际的可能。这种保证的客观正确性由逻辑的客观正确性保证。至于前提是否现实存在，不属数学的关心职责，那是物理学家，工程师的责任，是生命学家，医学家的责任；数学只负责保证（尽量穷尽）所有这种结构、关系及其变化方面的因果关系。因此，数学告诉我们的是一种客观规律，尽管可能不是已经在现实中表现出来，而只是已经先验地存在、但随时可能以某种现实的形式实现的客观规律。这也就是为什么数学家的工作不能叫发明、只能叫发现的原因。这也就是为什么数学具有别的学科都不具有的一个非常特殊的性质：任何结果只要被自己证明，便永远正确。当然我们这里不包括证错了的情况。

    历史与好的文化一样是解决人所不知和神话的事物,当我们需要摆兵布阵,分配国民经济,对世界事物做一了解,解释时就需要了数学.美国的凯恩斯主意最低对美国人的生活保障,是黑人8000多美元,白人最低9000千美元左右,这就要数学清晰的排列出来.中国人均身活创千元的时候,就需数学,来列出数据,表明中国的发展速度和与世界的差距。 

　  历代世界出名的哲学家，也都是数学家，莱布尼兹、笛卡尔、罗素等，都在世界验证和发明了数学。世界通用的数学基础，一种说来源与印度，一种说来源与古巴比伦，这是世界通认，而不可否认的事物。郭沫若也确定数学来源与古巴比论，在他的学说中，把数学传入中国的时间，确定为商朝的时候，这在中国能还没有异意。数学逻辑，如其它逻辑一样，都应是基础，而不能把其做为主要方法，如果了解数学，还会对神学的简单天才现象再相信么。

    说数学是发现的人，其实柏拉图主义，柏拉图说：现实是完美世界的一个投影。也就是说完美的数学世界中其实存在积分这样的概念，只是我们还没有找到，还在发现。我倾向于数学是发现的，其实是倾向于，数学不能任意建造。 

附：《数学沉思录》：发现数学，还是发明数学？
http://nf.nfdaily.cn/nfdsb/content/2010-11/15/content_17602007.htm

    先来用“发现”和“发明”分别造句：居里夫人发现了镭；爱迪生发明了电灯——— 你不会说居里夫人“发明”了镭，爱迪生“发现”了电灯，因为你知道，镭从来便存在于天地之间，没有居里夫人，它也还在那儿；而电灯却是出自人类的创造，没有爱迪生(或者别的什么人)，它就不可能出现在世界上。

　　这个逻辑很清楚。但是如果问题换成“数学是人类的一种发现还是发明”，那么答案就没那么简单了。无数的数学家、认知学家、哲学家为了这个问题争论不休，举几个例子———

　　法国数学家阿兰·孔涅说：“根据我的观察，质数组成的世界，远比我们周围的物质世界稳定。”天文学家卡尔·萨根在他写的科幻小说《接触》里将质数设置为宇宙通用语言。没错，这两位是“发现派”。持不同意见的“发明派”大有人在。语言学家乔治·莱考夫和物理学家拉斐尔·努涅斯就在书中写道：“数学是人类天性的一部分，它源于我们的身体、大脑以及我们在这个世界中每天的经历。”

　　再想想这个：在所有的数学概念之中，最有可能独立于人类思维存在的，大多数人都会毫不犹豫地断定是自然数。的确，还有什么能比1、2、3、4……更“自然”的概念呢？美国物理学家M ario Livio在《数学沉思录：古今数学思想的发展与演变》里说：“如果有人能证明，作为数学概念的自然数也是源自人类思维的话，那么这一定是赞成数学是人类‘发明创造’观点最强有力的支撑证据了。”

　　对此，英国数学家迈克尔·阿蒂亚提出一个很有力的理论：“让我们想象一下，如果在太平洋深处，独居并与世隔绝的水母中出现了文明，水母不会有单独个体的经验，只能感觉到周围的水。运动、温度和压力将给它提供基本感知体验。在这样的环境中不会出现离散的概念，也不会有什么计数。”

　　让我们继续前进。假设数学真的是人类的发明，那么与其他表现人类思维的方式(比如美术与音乐)，又有什么本质不同？数学为什么会表现出其他人类创造都不具备的逻辑性与一致性？数学为什么能够如此成功地解释甚至是支配这个世界，以至于物理学家都要依靠数学模型来探索自然？

　　《数学沉思录》就是讨论“发现”与“发明”之争的。作者在书里回顾了历史上对这个话题做出最大贡献的数学家、物理学家、哲学家、认知学家和语言学家。这不是一般的数学史，因此他挑出来的人选颇有些出乎意料。谈柏拉图、亚里士多德、伽利略，却不谈欧几里德、欧拉、高斯，作者无疑自有其考虑。